目前，各校大多进入第二轮复习的后期，开始进入考前模拟阶段。本人现就这一阶段的复习方法和今年数学高考的命题趋势谈几点看法。

　　高考的主干内容是：代数的“两数”———函数、数列；“两式”———三角式、不等式；几何的“两直线”———立体几何的“直线与平面”，解析几何的“直线与圆锥曲线”；新内容的“两率一量”———概率、变化率(导数)、向量。数学的思想方法是：换元法、配方法与待定系数法，函数与方程、数形结合的思想，分类讨论、转化与化归的思想。

　　一、函数与不等式

　　近十年来，函数与不等式是数学高考的核心。函数是高中数学最主要的概念之一，它反映了现实世界中变量间的相互依存，相互制约的变化规律，是高中数学研究的对象，同时本身就是数学中常用的一种思想方法、广泛地渗透到高中数学学习的全过程及其他各学科中，内容极为丰富，在每年的高考中都占有较大的比重，既有容易题，又有中档题与难题。

　　不等式作为一种数学工具，在数学各类相关问题中体现出它的价值。在解答题中，解不等式往往含有参数，重点考查学生的分类讨论思想及转化思想；证明不等式是理科考查的重点，经常以函数为背景进行考查、高考常在各知识网络的交汇点处命题，不等式的综合运用能力是高考重点考查的内容之一。

　　1.常见的考题类型。

　　(1)高考对函数概念的考查主要有：求函数的定义域、值域及反函数，这类题多以选择题出现。

　　(2)考查函数的性质———函数的单调性、奇偶性、周期性和函数图像的对称性等。这类题一般含有参数，因此，分类讨论是不可缺少的，导数工具的应用对函数单调性问题的研究注入了新的活力。近两年，以组合形式一题多角度考查函数性质的高考题正成为新的热点。

　　(3)函数的最值问题在高考试卷中年年都有，它们是高考中的重要题型。特别是函数在经济生活中的应用问题，大多是最值问题。此类考题，一要正确写出模型函数，二要掌握求函数最值的几种常用方法与技巧(包括导数法)。

　　(4)函数与解析几何、不等式、方程、数列、参数范围、导数等内容结合在一起，以曲线方程的变换，参数范围的探求及最值问题综合在一起的新颖考题，成为近几年高考中的高档解答题，综合考查考生应用函数知识分析、解决问题的能力以及对函数思想方法的理解与灵活运用，等价转化及数形结合和分类讨论等解题策略的掌握程度，这类试题每年至少会有一个，是拉开考生分数差距的主要题目。

　　(5)关于不等式的基本题型有：解不等式、证明不等式、求参数的取值范围、不等式的实际应用问题，而更多的则是在函数、数列、解析几何等综合问题中，考查运用不等式的有关知识来分析、解决问题的综合能力。高考中涉及到不等式的试题综合性较强，且低、中、高档题都有。热点题其一是单纯考查解不等式；其二是证明不等式，这类题可单独命题，但更多的是某题的最后一问、分析法与综合法是主要的方法，放缩的技巧也不容忽视，与自然数n有关的命题可考虑数学归纳法。而构造函数，利用导数研究函数的单调性与最值来达到证明的目的，是近几年高考的亮点之一，也是函数思想最直接的体现。

　　2.高考命题趋势

　　(1)对函数的概念、基本性质及图像、不等式的性质等内容的考查主要以小题的形式出现，并可能与命题的判断、重要条件结合在一起。

　　(2)解不等式的问题仍是高考热点，主要考查一元二次不等式、分式不等式、含绝对值的不等式，但也应注意简单的无理不等式、指数与对数不等式以及含参数的不等式的解法、不等式的证明仍是理科考查的重点，可能会有数列、导数等内容综合在一起。

　　(3)通过函数应用题考查建立函数模型及解读信息的能力，将是高考命题的热点之一。新课程新增内容中与函数有关的内容———函数连续与极限、导数的考查比重将进一步加大。函数与不等式、数列、向量、解析几何的综合问题会以解答题形式出现，难度较大。

　　3.复习备考方略

　　(1)熟练掌握函数的定义域、值域的求法，掌握函数的性质，特别注意抽象函数。处理函数问题时，应遵循定义域优先的原则。

　　(2)应充分注意函数图像题型，这类考题往往在选择题中出现，会处理“读图题型”和函数图像的平移变换、伸缩变换、对称变换等问题，灵活运用函数的图像与对称性解题。

　　(3)重视二次函数的复习。二次函数是初等函数之一，它既简单又具有丰富的内涵和外延，以它为素材可以研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质，也可以建立起函数、方程、不等式之间的有机联系；二次函数的图像是抛物线，通过它还可以联系其它平面曲线讨论相互之间的关系。从函数的形式来讲，随着区间的确定变化，以及在系数中增添参变量，使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题。在历年数学高考中，二次函数在小题、大题中均有出现，还常常以代数证明题的形式出现在压轴题的位置上。对二次函数的复习，除了熟练掌握二次函数的各种形式、图像及性质外，还要掌握闭区间上二次函数的最值求法。

　　(4)解函数综合题首先要仔细审题，弄清题意，把握问题的本质，展开广泛的联系，然后再运用转化和化归、分类讨论等数学思想，将一个较为复杂的问题转化为一次、二次函数的问题加以解决。解函数综合题，还必须加强对向量、导数等新增内容与函数的交汇问题的剖析和训练，熟练掌握用导数的工具来研究函数有关性质。

　　(5)透彻理解不等式性质，对每一个条件与结论，要彻底弄清。牢固地掌握解不等式的基本思想，将不熟悉的不等式化归为熟悉的不等式，在化归的过程中，应注意其等价性。既要掌握常规的基本方法，也要注意针对特殊的试题背景，选择灵活的解题方法和技巧。熟练掌握不等式证明的基本方法(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、数学归纳法等)。

　　4.复习参考例题

　　例1.已知f(x)=2+log3x(1≤x≤9)，则函数g(x)=[f(x)]2+f(x2)的最大值为____，最小值为___。

　　解析：g(x)的定义域是[1，3]，而不是[1，9]，最大值为13，最小值为6。

　　例2.已知f(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R，都满足：f(a·b)=af(b)+bf(a)。

　　(1)求f(0)、f(1)的值；

　　(2)判断f(x)的奇偶性，并证明你的结论；

　　(3)若f(2)=2，un=(n∈N+)，求数列{un}的前几项和。

　　解析：对于(1)、(2)常用赋值法，即对a、b取适当的值或字母。对于(3)利用f(x)满足的性质先求得un，证明{un}是特殊数列后运用相关公式求和。

　　(1)f(0)=f(0·0)=0·f(0)+0·f(0)=0，f(1)=f(1×1)=1·f(1)+1·f(1)=2f(1)，∴f(1)=0。

　　(2)∵f(1)=f[(-1)·(-1)]=-f(-1)-f(-1)=0 ∴f(-1)=0,∵f(-x)=f(-1·x)=-f(x)+xf(-1)=-f(x),∴f(x)为奇函数。

　　(3)由f(a2)=af(a)+af(a)=2af(a),f(a3)=a2f(a)+af(a2)=3a2f(a)。猜想：f(an)=nan-1f(a)，用数学归纳法证明。

　　1°当n=1时，f(a1)=1·a0·f(a)，公式成立。

　　2°假设当n=k时，f(ak)=k·ak-1f(a)成立，那么当n=k+1时，f(ak+1)=akf(a)+af(ak)=akf(a)+kakf(a)=(k+1)akf(a)，公式仍成立。由1°、2°知对任意n∈N+，f(an)=nan-1f(a)成立。

　　所以un==()n-1·f()，又f(2)=2,f(1)=f(2×)=2f()+f(2)=0，所以f()=-f(2)=-。

　　∴un=(-)·()n-1 (n∈N+)

　　∴Sn==()n-1

　　例3.已知函数f(x)=

　　(1)若a=，当x∈[1，+∞)时，求f(x)的最小值；

　　(2)当x∈[1，+∞)时，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围。

　　解析：第(1)问可先判断函数f(x)在[1，+∞)的单调性；第(2)问化归为二次函数的最值问题。

　　(1)当a=时，f(x)=x++2

　　设1≤x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(x1-x2)

　　∵1≤x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1x2＞0，2x1x2-1＞0 ∴f(x1)-f(x2)＜0即f(x1)＜f(x2)，∴f(x)=x++2在[1，+∞)上是增函数 ∴f(x)min=f(1)=。

　　(2)当x∈[1,+∞)时f(x)＞0恒成立

　　当x∈[1，+∞)时，x2+2x+a＞0恒成立。设h(x)=x2+2x+a，h(x)在[1，+∞)上是增函数，

　　∴h(x)min=h(1)=3+a ∴当a+3＞0即a＞-3时，对x∈[1，+∞)，f(x)＞0恒成立。

　　小结：求f(x)的最小值时，未经分析得出f(x)=x++2≥2+2=2+是不正确的。事实上此时等号成立的条件是x= x=，但∈[1,+∞)

　　例4，当x＞0时，求证：x-＜ln(1+x)。

　　解析：构造函数，利用导数证明。

　　令f(x)=ln(1+x)-x+则有f(0)=0,f′(x)=。由于x＞0 ∴f′(x)=＞0，所以f(x)在(0,+∞)上是增函数，从而f(x)＞f(0)，即ln(1+x)-x+＞0，所以x-＜ln(1+x)。

　二、三角函数

　　三角函数除了具备一般函数的各种性质外，它的周期性及独特的对称性，再加上系统丰富的三角公式，使其产生的各种问题层次分明、变化多端，在高考试卷占较重要位置，成为历年高考命题的热点。又因为三角问题在高考中一般作为中低档题目出现，更应成为考生必须拿分的题目。

　　1.常见考题类型

　　(1)考查三角函数的图像和性质，尤其是三角函数的周期、最值、单调性、图像变换、特征分析(对称轴、对称中心)等。

　　(2)考查三角函数式的恒等变换，如利用有关公式求值和简单的综合问题等。

　　2.高考命题趋势

　　(1)小题重在基础，包括解析式、图像及图像变换、定义域、值域、函数的性质、反函数及简单的三角变换(求值、化简、大小比较)。

　　(2)大题难度不大，注意与平面向量的结合题及应用问题。

　　3.复习备考方略

　　(1)掌握三角函数的概念、图像和性质，特别是y=Asin(ωx+ψ)和asinx+bcosx=sin(x+ψ)的相关内容。

　　(2)掌握三角函数公式及三角恒等变形的基本变换思想。

　　(3)加强三角函数的应用意识。

　　4.复习参考例题

　　例：设函数f(x)=·，其中向量=(2cosx,1)，=(cosx,sin2x),(x∈R)。

　　(1)若f(x)=1-，且x∈[-,]，求x;

　　(2)若函数y=2sin2x的图像按向量=(m,n)(m＜)平移后得到函数y=f(x)的图像，求实数m、n的值。

　　解析：本题主要考查平面向量的概念和计算，三角函数的恒等变换及其图像变换的基本技能，考查运算能力，解三角方程，要注意变量的范围，平移要注意符号。

　　(1)由题意，f(x)=·=(2cosx,1)·(cosx,sin2x)=2cosx+sin2x=1+2sin(2x+)，由1+2sin(2x+)=1-得sin(2x+)=-,∵-≤x≤,∴-≤2x+≤，∴2x+=-，即x=-。

　　(2)函数y=2sin2x的图像按向量=(m,n)平移后得到函数y=2sin2(x-m)+n的图像，即函数y=f(x)的图像，由(1)得f(x)=2sin2(x+)+1,∵m＜,∴m=-,n=1。

　　三、数列与极限

　　数列、极限是高中数学的重要内容，又是初等数学与高等数学的衔接点，在历年的高考中都占有重要的地位。

　　1.常见考题类型

　　(1)有关数列的基本问题，这类题围绕等差，等比数列的基本知识，基本公式命题，难度不大，考生应注意基本方法的训练，灵活运用相关性质。

　　(2)研究数列的递推公式，从而研究数列的其他性质，递推公式简单时往往较容易。但有些不易求出通项公式的题目，难度系数较大，观察、归纳、猜想、证明是基本思路，数学归纳法是常用方法之一。

　　(3)与函数、不等式结合的综合题，有关增长率、银行贷款等的数列应用题是属于中高档难度的题目。

　　2.高考命题趋势

　　(1)以客观题考查等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式，前n项和公式、数列极限的四则运算法则等。

　　(2)解答题将以等差、等比数列的基本问题为主，突出数列与函数、数列与方程、数列与不等式的综合应用，更要特别重视数列的应用性问题。

　　3.复习备考方略

　　(1)理解数列的概念，特别注意递推数列，熟练掌握等差数列、等比数列的性质、公式及公式的延伸，应用性质解题，往往可以回避求首项和公差或公比，使问题得到整体解决，能够减少运算量，应引起考生重视。

　　(2)解决数列综合问题要注意函数思想、分类论思想、等价转化思想等。注重数列与其他知识的综合。

　　(3)重视递推数列和数列推理题的复习。

　　(4)数列应用题注意增长率、银行信贷、养老保险、环保、土地资源等，首先要分析题意，建立数列模型，再利用数列知识加以解决。

　　4.复习参考例题

　　例1.电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表所示：

　　观察二进制为1位数、2位数、3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数时，能表示十进制中最大的数是_____。

　　解析：这是一道探索性问题的新题型，以能力立意，考查学生内在数学素质和探究问题的能力。

　　由表中观察可得：1=1×20，2=1×21+0×20，3=1×21+1×20，4=1×22+0×21+0×20……8=1×23+0×22+0×21+0×20，所以二进制中最大六位数为111111可表示：1×25+1×24+1×23+1×22+1×21+1×20=63。